Repérage dans l'espace, équation de plan et distance

Exercice 3 — Repère et géométrie analytique dans l'espace

On se place dans un repère orthonormal (O ; i, j, k) de l'espace. On considère les points :

• A(1 ; 2 ; 3)
• B(3 ; 0 ; 1)
• C(2 ; 4 ; 0)
• D(0 ; 2 ; −1)

1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
2. Vérifier que le vecteur n = (2 ; 3 ; −4) est orthogonal à la fois à AB et à AC. En déduire qu'il est un vecteur normal au plan (ABC).
3. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
4. Le point D appartient-il au plan (ABC) ? Justifier.
5. Calculer la distance du point D au plan (ABC). On rappelle que la distance d'un point P($x_0$ ; $y_0$ ; $z_0$) au plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est : dist = $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.