Solide composé — Silo cylindro-conique, aire et volume

Exercice 5 — Silo agricole de la région de Meknès

Un ingénieur agronome de la région de Meknès conçoit un silo de stockage de céréales composé de deux parties :

• Un cylindre de rayon r = 3 m et de hauteur H = 8 m (partie inférieure).
• Un cône de même rayon r = 3 m et de hauteur h = 4 m, placé au-dessus du cylindre (partie supérieure, servant de toit).

Partie A — Calcul de l'aire totale extérieure

A.1. Calculer l'aire latérale du cylindre.

A.2. Calculer l'apothème l du cône, puis son aire latérale.

A.3. Le silo repose sur le sol (la base inférieure du cylindre est au sol et n'est pas peinte). Calculer l'aire totale extérieure à peindre (surface latérale du cylindre + aire latérale du cône + base supérieure du cylindre — mais cette dernière est commune au cône, donc non comptée). Justifier soigneusement quelles surfaces sont incluses.

Partie B — Volume et capacité

B.1. Calculer le volume total du silo (cylindre + cône).

B.2. On souhaite remplir le silo de blé. La densité du blé est de 750 kg/$m^3$. Calculer la masse maximale de blé que peut contenir le silo.

B.3. Le prix d'achat du blé est de 3,20 dirhams le kilogramme. Calculer la valeur marchande maximale du blé stocké, arrondie au dirham.

Partie C — Homothétie et nouveau silo

C.1. On projette de construire un second silo de même forme, mais dont toutes les dimensions linéaires sont multipliées par un coefficient k = 1,5. Quel est le rapport des volumes du nouveau silo au silo initial ?

C.2. En déduire le volume du nouveau silo.