Pyramide à base carrée et sections planes

Exercice 1 — Pyramide à base carrée

On considère une pyramide régulière SABCD dont la base ABCD est un carré de côté $6$ cm et dont le sommet S est situé à la verticale du centre O de la base, à une hauteur $SO=8$ cm.

1. Calculer le volume de la pyramide SABCD.
2. Calculer la longueur de l'arête latérale $SA$.
3. On note $l$ l'apothème de la pyramide, c'est-à-dire la hauteur d'une face triangulaire latérale issue de $S$. Montrer que $l=\sqrt{73}$ cm, puis calculer l'aire totale de la pyramide (base comprise).
4. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à mi-hauteur (à $4$ cm du sommet). La section obtenue est un carré $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Déterminer le côté de ce carré, puis calculer le volume de la petite pyramide $S{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.