Pavé droit — Orthogonalité et produit scalaire

Facile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 1 — Pavé droit, orthogonalité et produit scalaire

On considère un pavé droit ABCDA'B'C'D' de dimensions AB = 3, AD = 2 et AA' = 4. On munit l'espace d'un repère orthonormé (A ; i, j, k) tel que :

  • A = (0 ; 0 ; 0)
  • B = (3 ; 0 ; 0)
  • D = (0 ; 2 ; 0)
  • A' = (0 ; 0 ; 4)

1. Donner les coordonnées des sommets C, B', C', D'.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs et .

3. En utilisant le produit scalaire, montrer que les diagonales AC' et BD' ne sont pas orthogonales.

4. Calculer la longueur de la grande diagonale AC' du pavé.

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Dans un pavé droit, chaque sommet se construit en ajoutant les vecteurs des arêtes. Par exemple, pour trouver C, pars de B et ajoute le vecteur $\vec{AD}$.
2 Indice 2
Pour vérifier l'orthogonalité de deux droites, calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs : $\vec{AC'} \cdot \vec{BD'}$. S'il est nul, elles sont orthogonales.

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La méthode — par où commencer

Dans un pavé droit, chaque sommet se construit en ajoutant les vecteurs des arêtes. Par exemple, pour trouver C, pars de B et ajoute le vecteur .

Pour vérifier l'orthogonalité de deux droites, calcule le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs : . S'il est nul, elles sont orthogonales.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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