Pyramide inscrite dans un pavé droit — Orthogonalité et volumes

Exercice 1 — Pyramide inscrite dans un pavé droit

On considère un pavé droit ABCDA'B'C'D' tel que $AB=4$ cm, $AD=3$ cm et $A{A}^{\prime }=6$ cm. On note O le centre de la face ABCD (intersection des diagonales AC et BD).

On définit la pyramide P de sommet A' et de base ABCD.

1. Calcul de volumes.

   1. Calculer le volume $V_{\text{paveˊ}}$ du pavé droit ABCDA'B'C'D'.
   2. En déduire le volume $V_P$ de la pyramide P de sommet A' et de base ABCD.

2. Orthogonalité.

   1. Justifier que la droite (A'O) est perpendiculaire au plan (ABCD).
   2. Calculer la longueur A'O.
   3. En déduire la longueur A'A (diagonale du pavé reliant A à A').

3. Aire latérale.
   On considère la face triangulaire A'AB de la pyramide P. Calculer l'aire du triangle A'AB.