المعلم في الفضاء، معادلة مستوى ومسافة

التمرين 3 — المعلم والهندسة التحليلية في الفضاء

نعتبر الفضاء منسوبا إلى معلم متعامد ممنظم (O ; i, j, k). نعتبر النقط :

• A(1 ; 2 ; 3)
• B(3 ; 0 ; 1)
• C(2 ; 4 ; 0)
• D(0 ; 2 ; −1)

1. أحسب إحداثيات المتجهتين AB و AC.
2. تحقق أن المتجهة n = (2 ; 3 ; −4) متعامدة مع كل من AB و AC. استنتج أنها متجهة منظمية للمستوى (ABC).
3. حدد معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).
4. هل النقطة D تنتمي إلى المستوى (ABC)؟ علل جوابك.
5. أحسب المسافة بين النقطة D والمستوى (ABC). نذكر أن المسافة بين نقطة P($x_0$ ; $y_0$ ; $z_0$) والمستوى الذي معادلته $ax+by+cz+d=0$ هي : dist = $\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.