الموشور القائم الثلاثي، المقاطع والمواقع الهندسية

التمرين 6 — موشور قائم ذو قاعدة مثلثة

نعتبر موشورًا قائمًا ABCDEF قاعدته السفلية هي المثلث المتساوي الأضلاع ABC طول ضلعه a = 4 cm، وارتفاعه h = 9 cm. الرؤوس العلوية هي D (فوق A)، E (فوق B)، F (فوق C).

نُزوّد الفضاء بمعلم متعامد ممنظم (A ; i, j, k) حيث k هو المتجهة الرأسية الواحدة. الإحداثيات هي:

• $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(2;2\sqrt{3};0)$
• $D(0;0;9)$, $E(4;0;9)$, $F(2;2\sqrt{3};9)$

1. احسب حجم الموشور ABCDEF.
2. نرمز بـ G إلى مركز ثقل القاعدة ABC. اذكر صيغة إحداثيات مركز ثقل مثلث، ثم احسب إحداثيات G وإحداثيات النقطة G'، مركز ثقل DEF.
3. يقطع مستوى 𝒫 الموشور وفق مقطع. يمر هذا المستوى من منتصف M للقطعة [AB]، ومن منتصف N للقطعة [CF]، وهو موازٍ للحرف BE.
   أ) حدد إحداثيات M و N.
   ب) حدد إحداثيات نقطة P على الحرف BE بحيث تكون MP موازية لـ MN (أو بين أن المستوى 𝒫 يقطع BE في نقطة محددة).
   ج) صف الطبيعة الهندسية للمقطع المحصل عليه واحسب مساحته.
4. نعتبر القطر [BF] للموشور.
   أ) احسب طول BF.
   ب) حدد الزاوية التي يصنعها [BF] مع القاعدة ABCDEF.
   ج) تتحرك نقطة Q على [BF] بحيث $BQ=t\times BF$ مع $t\in [0;1]$. عبر عن إحداثيات Q بدلالة t، ثم احسب المسافة بين Q والمحور الرأسي المار من B (المستقيم BE).