Sphère, cône et optimisation — Problème de construction

Intermédiaire Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 — Sphère et cône optimal

Un artisan de Marrakech fabrique des cônes en bois à partir de sphères pleines de rayon R = 6 cm. Il souhaite tailler dans chaque sphère un cône de révolution dont le sommet S et la base circulaire sont inscrits dans la sphère (le centre de la base et le sommet sont sur un même diamètre de la sphère).

On note h la hauteur du cône (avec ).

  1. Exprimer le rayon r de la base du cône en fonction de h et R, en utilisant la relation géométrique entre la sphère et le cône inscrit. On montrera que .
  2. Exprimer le volume V(h) du cône en fonction de h uniquement (avec R = 6).
  3. Calculer V'(h) et déterminer la valeur de h qui maximise le volume du cône.
  4. Calculer le volume maximal du cône et le comparer au volume de la sphère. Quel pourcentage de la sphère le cône optimal représente-t-il ? (Donner le résultat en % arrondi à l'unité.)

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour trouver $r^2 = h(2R - h)$, place le centre $O$ de la sphère à l'origine et repère la position du centre $M$ de la base du cône sur le diamètre vertical. Applique ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle $OMA$ où $A$ est un point du cercle de base.
2 Indice 2
Pour maximiser le volume $V(h) = \dfrac{\pi}{3}h^2(12-h)$, développe d'abord l'expression, puis calcule la dérivée $V'(h)$. Cherche ensuite pour quelle valeur de $h$ cette dérivée s'annule en changeant de signe, cela te donnera le maximum.

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La méthode — par où commencer

Pour trouver , place le centre de la sphère à l'origine et repère la position du centre de la base du cône sur le diamètre vertical. Applique ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle où est un point du cercle de base.

Pour maximiser le volume , développe d'abord l'expression, puis calcule la dérivée . Cherche ensuite pour quelle valeur de cette dérivée s'annule en changeant de signe, cela te donnera le maximum.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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