Prisme triangulaire, sections et lieux géométriques

Exercice 6 — Prisme droit à base triangulaire

On considère un prisme droit ABCDEF dont la base inférieure est le triangle équilatéral ABC de côté a = 4 cm, et dont la hauteur est h = 9 cm. Les sommets supérieurs sont D (au-dessus de A), E (au-dessus de B), F (au-dessus de C).

On munit l'espace d'un repère orthonormal (A ; i, j, k) où k est le vecteur vertical unitaire. Les coordonnées sont :

• $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(2;2\sqrt{3};0)$
• $D(0;0;9)$, $E(4;0;9)$, $F(2;2\sqrt{3};9)$

1. Calculer le volume du prisme ABCDEF.
2. On note G le centre de gravité de la base ABC. Rappeler la formule des coordonnées du centre de gravité d'un triangle, puis calculer les coordonnées de G et celles du point G', centre de gravité de DEF.
3. Un plan 𝒫 coupe le prisme selon une section. Ce plan passe par le milieu M de [AB], le milieu N de [CF], et est parallèle à l'arête BE.
   a) Déterminer les coordonnées de M et N.
   b) Déterminer les coordonnées d'un point P sur l'arête BE tel que MP soit parallèle à MN (ou montrer que le plan 𝒫 coupe BE en un point précis).
   c) Décrire la nature géométrique de la section obtenue et calculer son aire.
4. On considère la diagonale [BF] du prisme.
   a) Calculer la longueur BF.
   b) Déterminer l'angle que fait [BF] avec la base ABCDEF.
   c) Un point Q se déplace sur [BF] tel que $BQ=t\times BF$ avec $t\in [0;1]$. Exprimer les coordonnées de Q en fonction de t, puis calculer la distance de Q à l'axe vertical passant par B (droite BE).