Pavé droit, produit scalaire et angles dans l'espace

Exercice 5 — Pavé droit et géométrie vectorielle

On considère un pavé droit ABCDEFGH où ABCD est la face inférieure et EFGH la face supérieure, avec AE, BF, CG, DH les arêtes verticales. On pose AB = 4, AD = 3 et AE = 6 (unités en cm).

On munit l'espace du repère orthonormal (A ; i, j, k) avec i = AB/4, j = AD/3, k = AE/6.

Les coordonnées des sommets sont : A(0;0;0), B(4;0;0), C(4;3;0), D(0;3;0), E(0;0;6), F(4;0;6), G(4;3;6), H(0;3;6).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs AG et BH. Montrer que les diagonales AG et BH ne sont pas orthogonales en calculant AG $\cdot$ BH.
2. On note M le milieu de [BH] et N le milieu de [AE].
   a) Calculer les coordonnées de M et N.
   b) Montrer que les droites (AG) et (MN) sont parallèles ou confondues, ou bien déterminer leur relation.
3. Soit P le point de coordonnées P(2 ; $\frac{3}{2}$ ; 3) (centre du pavé).
   a) Vérifier que P est le milieu de [AG].
   b) Calculer l'angle $\theta$ que fait la diagonale [AG] avec la face inférieure ABCD. On rappelle que $\sin (\theta )=$ hauteur / longueur de la diagonale spatiale.
4. On considère le plan (BDE) passant par B(4;0;0), D(0;3;0), E(0;0;6).
   a) Déterminer un vecteur normal au plan (BDE).
   b) En déduire l'équation cartésienne du plan (BDE).
   c) Calculer la distance du sommet G au plan (BDE).