Sphère, cône et optimisation de volume

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 4 — Cône inscrit dans une sphère. On considère une sphère de centre et de rayon cm. On inscrit un cône droit de sommet situé sur la sphère, de base un disque de rayon et de centre situés sur l'axe , de hauteur avec . On a et . 1. Montrer que . 2. Exprimer le volume du cône en fonction de (avec ). 3. Déterminer qui maximise . 4. Calculer le volume maximal en et le comparer à celui de la sphère.

Indices

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1 Indice 1
Pour la question 1, développe l'expression $(h-R)^2$ en utilisant l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, puis simplifie $R^2 - (h-R)^2$.
2 Indice 2
Pour la question 2, utilise la formule du volume d'un cône $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ en remplaçant $r^2$ par l'expression $2Rh - h^2$ trouvée précédemment, avec $R = 9$.

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La méthode — par où commencer

Pour la question 1, développe l'expression en utilisant l'identité remarquable , puis simplifie .

Pour la question 2, utilise la formule du volume d'un cône en remplaçant par l'expression trouvée précédemment, avec .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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