Solides composés et problème d'optimisation — silo agricole

Exercice 6 — Optimisation d'un silo agricole

Un ingénieur agronome de la région de Rabat conçoit un silo de stockage de céréales composé d'un cylindre surmonté d'un demi-sphère (calotte sphérique complète), tous deux de même rayon $r$. La hauteur du cylindre est notée $h$.

Le volume total du silo doit être exactement $V_0=54\pi$ $m^3$.

Partie A — Mise en équation

1. Exprimer le volume total $V$ du silo en fonction de $r$ et $h$. (Volume demi-sphère = $\frac{2}{3}\pi r^3$.)
2. En utilisant la contrainte $V=54\pi$, exprimer $h$ en fonction de $r$. Préciser les conditions sur $r$ pour que $h>0$.

Partie B — Minimisation de la surface

On souhaite minimiser la surface totale extérieure $S(r)$ du silo (pour réduire le coût de construction). La surface comprend : la base circulaire du cylindre, la surface latérale du cylindre, et la surface de la demi-sphère.

1. Rappeler les formules des aires : base circulaire, surface latérale du cylindre, surface d'une demi-sphère.
2. Exprimer $S$ en fonction de $r$ et $h$, puis substituer $h$ pour obtenir $S(r)$ en fonction de $r$ seul.
3. Calculer $S^{\prime }(r)$ et déterminer la valeur de $r$ qui minimise $S(r)$.
4. Calculer la valeur minimale de $S$ et la hauteur $h$ correspondante. Que remarque-t-on sur le rapport $\frac{h}{r}$ ?