الكرة والمخروط والتحسين - مسألة إنشاء

Intermédiaire Inspiré BAC France
Partager
Exercice inspiré d'un BAC France
Source-style : BAC France Spé Maths 2024
Inspiré du style BAC France Spé Maths 2024
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — فلكة ومخروط أمثل

يصنع حرفي من مراكش مخاريط خشبية انطلاقًا من فلكات مصمتة شعاعها R = 6 cm. يرغب في نحت مخروط دوران من كل فلكة، بحيث يكون رأسه S وقاعدته الدائرية محاطين بالفلكة (مركز القاعدة والرأس يقعان على نفس قطر الفلكة).

نرمز بـ h لارتفاع المخروط (مع ).

  1. عبر عن شعاع قاعدة المخروط r بدلالة h و R، باستخدام العلاقة الهندسية بين الفلكة والمخروط المحاط بها. سنبين أن .
  2. عبر عن حجم المخروط V(h) بدلالة h فقط (مع R = 6).
  3. احسب V'(h) وحدد قيمة h التي تجعل حجم المخروط أكبر ما يمكن.
  4. احسب الحجم الأقصى للمخروط وقارنه بحجم الفلكة. ما هي النسبة المئوية التي يمثلها المخروط الأمثل من الفلكة؟ (أعط النتيجة كنسبة مئوية مقربة إلى الوحدة.)

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour trouver $r^2 = h(2R - h)$, place le centre $O$ de la sphère à l'origine et repère la position du centre $M$ de la base du cône sur le diamètre vertical. Applique ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle $OMA$ où $A$ est un point du cercle de base.
2 الإرشاد 2
Pour maximiser le volume $V(h) = \dfrac{\pi}{3}h^2(12-h)$, développe d'abord l'expression, puis calcule la dérivée $V'(h)$. Cherche ensuite pour quelle valeur de $h$ cette dérivée s'annule en changeant de signe, cela te donnera le maximum.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Pour trouver , place le centre de la sphère à l'origine et repère la position du centre de la base du cône sur le diamètre vertical. Applique ensuite le théorème de Pythagore dans le triangle où est un point du cercle de base.

Pour maximiser le volume , développe d'abord l'expression, puis calcule la dérivée . Cherche ensuite pour quelle valeur de cette dérivée s'annule en changeant de signe, cela te donnera le maximum.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

الموشور القائم الثلاثي، المقاطع والمواقع الهندسية كل تمارين الدرس متوازي المستطيلات، الجداء السلمي والزوايا في الفضاء