مجسمات مركبة ومسألة استمثال

التمرين 6 — تحسين صومعة زراعية

يصمم مهندس زراعي من منطقة الرباط صومعة لتخزين الحبوب مكونة من أسطوانة يعلوها نصف كرة (قبة كروية كاملة)، كلاهما بنفس نصف القطر $r$. ارتفاع الأسطوانة يُرمز له بـ $h$.

يجب أن يكون الحجم الكلي للصومعة بالضبط $V_0=54\pi$ $m^3$.

الجزء أ — وضع المعادلة

1. عبّر عن الحجم الكلي $V$ للصومعة بدلالة $r$ و $h$. (حجم نصف الكرة = $\frac{2}{3}\pi r^3$.)
2. باستخدام القيد $V=54\pi$، عبّر عن $h$ بدلالة $r$. حدد الشروط على $r$ لكي يكون $h>0$.

الجزء ب — تصغير المساحة

نريد تصغير المساحة الخارجية الكلية $S(r)$ للصومعة (لتقليل تكلفة البناء). تشمل المساحة: القاعدة الدائرية للأسطوانة، المساحة الجانبية للأسطوانة، ومساحة نصف الكرة.

1. تذكّر صيغ المساحات: القاعدة الدائرية، المساحة الجانبية للأسطوانة، مساحة نصف الكرة.
2. عبّر عن $S$ بدلالة $r$ و $h$، ثم عوّض $h$ للحصول على $S(r)$ بدلالة $r$ فقط.
3. احسب $S^{\prime }(r)$ وحدد قيمة $r$ التي تصغّر $S(r)$.
4. احسب القيمة الصغرى لـ $S$ والارتفاع $h$ المقابل. ماذا نلاحظ على النسبة $\frac{h}{r}$ ؟