دراسة شاملة للهرم والمخروط

تمرين — الهندسة الفضائية

نعتبر هرما منتظما S-ABCD قاعدته ABCD مربع طول ضلعه a = 6 cm وارتفاعه h = 4 cm. نرمز بـ O إلى مركز القاعدة (نقطة تقاطع القطرين).

الجزء 1 — دراسة الهرم

1. احسب طول المائل الجانبي للهرم (ارتفاع أحد الأوجه الجانبية).
2. احسب المساحة الجانبية ثم المساحة الكلية للهرم.
3. احسب حجم الهرم $V_1$.

الجزء 2 — مخروط محاط بالهرم

نحيط بالهرم S-ABCD مخروط دوران رأسه S وقاعدته قرص محاط بالمربع ABCD (الدائرة مماسّة لأضلاع المربع الأربعة).

1. حدد شعاع r للقرص المحاط بالمربع ABCD.
2. تحقق أن ارتفاع المخروط يساوي h = 4 cm.
3. احسب حجم المخروط $V_2$.
4. احسب النسبة $V_2÷V_1$ وعبر عن هذه النسبة في شكل غير قابل للاختزال يتضمن $\pi$.

الجزء 3 — كرة محيطة بالمخروط

نعتبر الآن كرة مركزها $\Omega$ وشعاعها R، محيطة بالمخروط من الجزء 2 (الكرة تمر بالرأس S وتماس قاعدة المخروط في مركزها).

1. باستخدام المثلث القائم الزاوية المكون من S، ومركز قاعدة المخروط، ونقطة من دائرة القاعدة، أنشئ معادلة بدلالة R واستنتج قيمة R.
2. احسب حجم هذه الكرة $V_3$. نذكر أن حجم كرة شعاعها R هو $(4÷3)\times \pi \times R^3$.