Prisme droit à base triangulaire et sphère inscrite

Exercice 4 – Prisme droit à base triangulaire et sphère inscrite

On considère un prisme droit ABCA'B'C' dont la base ABC est un triangle rectangle isocèle en A, avec AB = AC = 4 cm. La hauteur du prisme est AA' = 6 cm.

1. Calculer BC, puis l'aire de la base ABC et le périmètre de la base.
2. Calculer le volume du prisme.
3. Calculer l'aire totale du prisme.
4. On souhaite inscrire une sphère dans le prisme, tangente aux deux bases et à toutes les faces latérales. Pour qu'une telle sphère existe, son rayon r doit vérifier : r = Aire_base / demi-périmètre_base et r = h/2. Montrer que ces deux conditions ne sont pas simultanément satisfaites avec les dimensions données. Quelle condition sur h permettrait à une telle sphère d'exister ?