Pyramide et cône inscrits — étude métrique complète

Exercice — Géométrie dans l'espace

On considère une pyramide régulière S-ABCD dont la base ABCD est un carré de côté a = 6 cm et dont la hauteur est h = 4 cm. On note O le centre de la base (intersection des diagonales).

Partie 1 — Étude de la pyramide

1. Calculer la longueur de l'apothème de la pyramide (hauteur d'une face latérale).
2. Calculer l'aire latérale puis l'aire totale de la pyramide.
3. Calculer le volume $V_1$ de la pyramide.

Partie 2 — Cône inscrit dans la pyramide

On inscrit dans la pyramide S-ABCD un cône de révolution de sommet S et dont la base est un disque inscrit dans le carré ABCD (le cercle est tangent aux quatre côtés du carré).

1. Déterminer le rayon r du disque inscrit dans ABCD.
2. Vérifier que la hauteur du cône est égale à h = 4 cm.
3. Calculer le volume $V_2$ du cône.
4. Calculer le rapport $V_2÷V_1$ et exprimer ce rapport sous forme irréductible faisant apparaître $\pi$.

Partie 3 — Sphère circonscrite au cône

On considère maintenant une sphère de centre $\Omega$ et de rayon R, circonscrite au cône de la Partie 2 (la sphère passe par le sommet S et est tangente à la base du cône en son centre).

1. En utilisant le triangle rectangle formé par S, le centre de la base du cône et un point du cercle de base, établir une équation en R et en déduire la valeur de R.
2. Calculer le volume $V_3$ de cette sphère. On rappelle que le volume d'une sphère de rayon R est $(4÷3)\times \pi \times R^3$.