أسطوانة ومخروط محاطان – أمثلية الحجم

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 3 – أسطوانة ومخروط متداخلان

نعتبر مخروط دوران شعاع قاعدته cm وارتفاعه cm. نُدرج داخل هذا المخروط أسطوانة دوران شعاعها وارتفاعها ، بحيث تكون قاعدتها على قاعدة المخروط ومحورها يتطابق مع محور المخروط.

  1. باستخدام تشابه المثلثات، عبر عن بدلالة و و ، ثم بسّط باستخدام القيم العددية المعطاة.
  2. عبر عن حجم الأسطوانة المدرجة بدلالة فقط، من أجل ]0 ; 9[.
  3. ادرس تغيرات الدالة على المجال ]0 ; 9[ وحدد قيمة التي تجعل حجم الأسطوانة أكبر ما يمكن.
  4. احسب الحجم الأقصى للأسطوانة وعبر عن النسبة بين هذا الحجم الأقصى وحجم المخروط.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour trouver la relation entre $h$ et $r$, fais une coupe axiale du cône et du cylindre. Tu verras deux triangles semblables : le grand triangle du cône entier et le petit triangle situé au-dessus du cylindre.
2 الإرشاد 2
À la hauteur $h$ depuis la base, le rayon du cône vaut $r$. Utilise la proportionnalité : $\dfrac{H-h}{H} = \dfrac{r}{R}$. Isole ensuite $h$ en fonction de $r$, puis remplace $R=9$ et $H=12$.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour trouver la relation entre et , fais une coupe axiale du cône et du cylindre. Tu verras deux triangles semblables : le grand triangle du cône entier et le petit triangle situé au-dessus du cylindre.

À la hauteur depuis la base, le rayon du cône vaut . Utilise la proportionnalité : . Isole ensuite en fonction de , puis remplace et .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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الموشور القائم ذو القاعدة المثلثة – تركيب مجسمات كل تمارين الدرس مخروط داخل أسطوانة