Prisme droit à base triangulaire — combinaison de solides

Exercice 5 — Prisme droit et pyramide tronquée

Un architecte de Casablanca conçoit une fontaine dont le corps principal est un prisme droit à base triangulaire équilatérale de côté a = 4 cm et de hauteur H = 10 cm. Sur le dessus de ce prisme, on pose une pyramide régulière à base carrée MNPQ de côté b = 3 cm et de hauteur h = 4 cm.

Partie A — Étude du prisme

1. Rappeler la formule de l'aire d'un triangle équilatéral de côté a, puis calculer l'aire de la base du prisme.
2. Calculer le volume du prisme.
3. Calculer l'aire totale du prisme (deux bases + surface latérale).

Partie B — Étude de la pyramide

1. Calculer le volume de la pyramide.
2. Calculer la longueur de l'apothème de la face latérale (hauteur d'une face triangulaire depuis le sommet jusqu'au milieu d'un côté de la base). On rappelle que l'apothème de la face est $a_f=\sqrt{h^2+(b/2{)}^2}$.
3. Calculer l'aire latérale totale de la pyramide.

Partie C — Ensemble de la fontaine

1. Calculer le volume total de la fontaine.
2. On souhaite recouvrir l'extérieur de la fontaine (surface extérieure totale visible) d'un revêtement spécial. La surface visible est : l'aire latérale du prisme + les deux bases triangulaires du prisme + l'aire latérale de la pyramide (la base carrée de la pyramide repose sur le dessus du prisme et n'est pas visible). Calculer cette surface en c$m^2$.
3. Le revêtement coûte 15 dirhams par c$m^2$. Quel est le coût total du revêtement ? Donner la réponse arrondie au dirham.