Cylindre et cône inscrits – optimisation de volume

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

Exercice 3 – Cylindre et cône emboîtés

On considère un cône de révolution de rayon de base cm et de hauteur cm. On inscrit dans ce cône un cylindre de révolution de rayon et de hauteur , dont la base est sur la base du cône et dont l'axe coïncide avec celui du cône.

  1. En utilisant la similitude des triangles, exprimer en fonction de , et , puis simplifier avec les valeurs numériques données.
  2. Exprimer le volume du cylindre inscrit en fonction de uniquement, pour ]0 ; 9[.
  3. Étudier les variations de sur ]0 ; 9[ et déterminer la valeur de qui maximise le volume du cylindre.
  4. Calculer le volume maximal du cylindre et exprimer le rapport entre ce volume maximal et le volume du cône.

Indices

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1 Indice 1
Pour trouver la relation entre $h$ et $r$, fais une coupe axiale du cône et du cylindre. Tu verras deux triangles semblables : le grand triangle du cône entier et le petit triangle situé au-dessus du cylindre.
2 Indice 2
À la hauteur $h$ depuis la base, le rayon du cône vaut $r$. Utilise la proportionnalité : $\dfrac{H-h}{H} = \dfrac{r}{R}$. Isole ensuite $h$ en fonction de $r$, puis remplace $R=9$ et $H=12$.

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La méthode — par où commencer

Pour trouver la relation entre et , fais une coupe axiale du cône et du cylindre. Tu verras deux triangles semblables : le grand triangle du cône entier et le petit triangle situé au-dessus du cylindre.

À la hauteur depuis la base, le rayon du cône vaut . Utilise la proportionnalité : . Isole ensuite en fonction de , puis remplace et .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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