التمرين 5 – مجسم مركب وتحسين تقوم شركة بالدار البيضاء بتصنيع سدادات بلاستيكية تتكون من أسطوانة يعلوها مخروط لهما نفس شعاع القاعدة r . الارتفاع الكلي للسدادة محدد في H = 10 cm. نرمز بـ h لارتفاع المخروط (الجزء العلوي) وبـ ( H − h ) لارتفاع الأسطوانة (الجزء السفلي)، حيث h ∈ ] 0 ; 10 [ . عبر عن الحجم الكلي V ( h ) للمجسم بدلالة r و h . ثم استنتج أنه إذا كان r ثابتاً، فإن V دالة تآلفية لـ h . ماذا يمكن استنتاجه بخصوص وجود قيمة قصوى أو دنيا داخل المجال ] 0 ; 10 [ ؟ نفرض الآن أن المساحة الجانبية الكلية للمجسم (الجانبية للأسطوانة + الجانبية للمخروط) تساوي ثابتاً S = 60 π cm 2 . عبر عن r بدلالة h باستخدام هذا الشرط. (نرمز بـ l = r 2 + h 2 للمسافة من رأس المخروط إلى نقطة على محيط قاعدته). بالتعويض، بين أن الشرط يؤدي إلى: r = 2 π ( H − h ) + π r 2 + h 2 60 π ، وهو تعبير ضمني. من أجل h = 6 cm، احسب عددياً r انطلاقاً من المعادلة 2 π r ( H − h ) + π r l = 60 π ، بوضع l = r 2 + 36 . حل المعادلة بدلالة r (ستحصل على معادلة من الدرجة الثانية). باستخدام القيم h = 6 cm و r التي تم إيجادها في السؤال 3، احسب حجم المجسم والمساحة الكلية (بما في ذلك قرصي قاعدة الأسطوانة وقاعدة المخروط ليست مغلقة).

مجسم مركب: مخروط يعلوه نصف كرة

Difficile Inspiré BAC Sénégal

Exercice inspiré d'un BAC Sénégal

Source-style : BAC Sénégal Série S 2023

Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 5 – مجسم مركب وتحسين

تقوم شركة بالدار البيضاء بتصنيع سدادات بلاستيكية تتكون من أسطوانة يعلوها مخروط لهما نفس شعاع القاعدة $r$ . الارتفاع الكلي للسدادة محدد في $H = 10$ cm. نرمز بـ $h$ لارتفاع المخروط (الجزء العلوي) وبـ $(H - h)$ لارتفاع الأسطوانة (الجزء السفلي)، حيث $h \in] 0; 10 [$ .

عبر عن الحجم الكلي $V (h)$ للمجسم بدلالة $r$ و $h$ . ثم استنتج أنه إذا كان $r$ ثابتاً، فإن $V$ دالة تآلفية لـ $h$ . ماذا يمكن استنتاجه بخصوص وجود قيمة قصوى أو دنيا داخل المجال $] 0; 10 [$ ؟
نفرض الآن أن المساحة الجانبية الكلية للمجسم (الجانبية للأسطوانة + الجانبية للمخروط) تساوي ثابتاً $S = 60 π$ cm $^{2}$ . عبر عن $r$ بدلالة $h$ باستخدام هذا الشرط. (نرمز بـ $l = r^{2} + h^{2}$ للمسافة من رأس المخروط إلى نقطة على محيط قاعدته).
بالتعويض، بين أن الشرط يؤدي إلى: $r = \frac{60 π}{2 π ( H - h ) + π r ^{2} + h ^{2}}$ ، وهو تعبير ضمني. من أجل $h = 6$ cm، احسب عددياً $r$ انطلاقاً من المعادلة $2 π r (H - h) + π r l = 60 π$ ، بوضع $l = r^{2} + 36$ . حل المعادلة بدلالة $r$ (ستحصل على معادلة من الدرجة الثانية).
باستخدام القيم $h = 6$ cm و $r$ التي تم إيجادها في السؤال 3، احسب حجم المجسم والمساحة الكلية (بما في ذلك قرصي قاعدة الأسطوانة وقاعدة المخروط ليست مغلقة).

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Le volume total est la somme du volume du cylindre $\pi r^2(H-h)$ et du volume du cône $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$.

2 الإرشاد 2

Une fonction affine en $h$ (à $r$ fixé) n'a pas d'extremum à l'intérieur d'un intervalle : elle est monotone.

3 الإرشاد 3

Pour la contrainte d'aire, exprimez l'aire latérale du cylindre $2\pi r(H-h)$ et celle du cône $\pi r\ell$ avec $\ell=\sqrt{r^2+h^2}$, puis isolez les termes en $r$ avant d'élever au carré pour éliminer la racine.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

Le volume total est la somme du volume du cylindre $π r^{2} (H - h)$ et du volume du cône $\frac{1}{3} π r^{2} h$ .

Une fonction affine en $h$ (à $r$ fixé) n'a pas d'extremum à l'intérieur d'un intervalle : elle est monotone.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

مخروط داخل أسطوانة كل تمارين الدرس تقاطع مستويين

مجسم مركب: مخروط يعلوه نصف كرة

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

مجسم مركب: مخروط يعلوه نصف كرة

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯