حل المعادلة z³ = -8 في ℂ

Intermédiaire Inspiré BAC Sénégal
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Exercice inspiré d'un BAC Sénégal
Source-style : BAC Sénégal Série S 2023
Inspiré du style BAC Sénégal Série S 2023
Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

التمرين 4 — الجذور التكعيبية والهندسة

نبحث عن حل في للمعادلة (E) : .

الجزء 1 — حل المعادلة (E)

  1. اكتب العدد على الشكل الأسي .
  2. استنتج الجذور التكعيبية الثلاثة , , للعدد . عبر عنها على الشكل الجبري.

الجزء 2 — دراسة هندسية

نعتبر A و B و C صور الأعداد و و على التوالي في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم .

  1. احسب , , وفسر هندسيا.
  2. احسب , و . ماذا تستنتج بخصوص المثلث ABC؟
  3. احسب لحق مركز ثقل G للمثلث ABC. فسر النتيجة.

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour écrire $-8$ sous forme exponentielle, commence par identifier son module (valeur absolue) et son argument. Rappelle-toi que $-8$ est un nombre réel négatif : quel est son argument ?
2 الإرشاد 2
Une fois que tu as $-8 = 8e^{i\pi}$, utilise la formule des racines $n$-ièmes : si $z^3 = re^{i\theta}$, alors $z_k = \sqrt[3]{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/3}$ avec $k \in \{0, 1, 2\}$. Calcule ensuite $\cos$ et $\sin$ de chaque angle.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour écrire sous forme exponentielle, commence par identifier son module (valeur absolue) et son argument. Rappelle-toi que est un nombre réel négatif : quel est son argument ?

Une fois que tu as , utilise la formule des racines -ièmes : si , alors avec . Calcule ensuite et de chaque angle.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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z₁=3+2i و z₂=1-i: عمليات ومرافق مفصلة كل تمارين الدرس تأويل هندسي وتحويلات اعتيادية