Loi $x*y = \sqrt{x^2+y^2}$ et isomorphisme

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Énoncé

نزود المجال بالعملية المعرفة بـ:

لتكن الدالة المعرفة من إلى بـ .

  1. بين أن تشاكل من نحو .
  2. بين أن تبديلية وتجميعية.
  3. هل تقبل العملية عنصراً محايداً؟
  4. احسب من أجل .

إرشادات

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1 الإرشاد 1
Pour montrer que $f$ est un isomorphisme, commence par vérifier que $f(x*y) = f(x) + f(y)$. Remplace $x*y$ par sa définition $\sqrt{x^2+y^2}$, puis applique $f$.
2 الإرشاد 2
Une fois que tu as prouvé que $f$ est un homomorphisme, vérifie que $f(x)=x^2$ est bijective sur $]0;+\infty[$. Pense à sa monotonie et au fait qu'elle prend toutes les valeurs positives.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que est un isomorphisme, commence par vérifier que . Remplace par sa définition , puis applique .

Une fois que tu as prouvé que est un homomorphisme, vérifie que est bijective sur . Pense à sa monotonie et au fait qu'elle prend toutes les valeurs positives.

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Loi sur $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$ : $(x;y)*(x';y') = (xx';xy'+y)$ كل تمارين الدرس Loi $xTy = x^{\ln y}$ sur $]0;+\infty[ \setminus \{1\}$