Matrice inverse et structure de groupe sur un intervalle

الجزء 1. في الحلقة $(M_3(\mathbb{R}),+,\times )$ نعتبر:

$A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right),I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

1. احسب $I-A$ و $A^2$.
2. استنتج أن $A$ تقبل مصفوفة معكوسة.

الجزء 2. من أجل $a,b\in I=]1,+\infty [$، نضع $a\ast b=\sqrt{a^2{b}^2-a^2-b^2+2}$.

3. تحقق من أن $\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2{y}^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1$.
4. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي في $I$.
5. لتكن $\phi :{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to I$ معرفة بـ $\phi (x)=\sqrt{x+1}$. بين أن $\phi$ تشاكل من $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ إلى $(I,\ast )$، ثم استنتج بنية $(I,\ast )$.