I) لتكن المصفوفة A = ( 1 1 − 1 0 ) . احسب A 2 ، A 3 و A 6 ، ثم استنتج A − 1 على الشكل A n حيث n ∈ N . نضع G = { A n : n ∈ N ∗ } . بيّن أن ( G , × ) زمرة تبديلية. بيّن أن G = { I , A , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } . II) نضع E = { M ∈ M 2 ( R ) : A × M = M × A } . بيّن أن ( E , + , ⋅ ) فضاء متجهي. بيّن أنه لكل M ∈ E ، يوجد زوج وحيد ( a , b ) ∈ R 2 بحيث M = a I + b A . استنتج أساساً لـ ( E , + , ⋅ ) .

Groupe multiplicatif de matrices et commutant

Difficile

Énoncé

I) لتكن المصفوفة $A = (11 - 1 0)$ .

احسب $A^{2}$ ، $A^{3}$ و $A^{6}$ ، ثم استنتج $A^{- 1}$ على الشكل $A^{n}$ حيث $n \in N$ .
نضع $G = {A^{n} : n \in N^{*}}$ . بيّن أن $(G, \times)$ زمرة تبديلية.
بيّن أن $G = {I, A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, A^{5}}$ .

II) نضع $E = {M \in M_{2} (R) : A \times M = M \times A}$ .

بيّن أن $(E, +, \cdot)$ فضاء متجهي.
بيّن أنه لكل $M \in E$ ، يوجد زوج وحيد $(a, b) \in R^{2}$ بحيث $M = a I + b A$ . استنتج أساساً لـ $(E, +, \cdot)$ .

إرشادات

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

احسب $A^2$ بضرب $A$ في نفسها، ثم $A^3 = A \times A^2$، وأخيراً $A^6=(A^3)^2$؛ يجب أن تجد مصفوفة مميزة لـ $A^3$ (متناسبة مع مصفوفة الوحدة).

2 الإرشاد 2

لإثبات أن $(G,\times)$ زمرة، تحقق من الاستقرار والتجميعية (موروثة من جداء المصفوفات) ووجود عنصر محايد ($A^6=I$) ووجود مقلوب لكل عنصر.

3 الإرشاد 3

من أجل المجموعة $G$، استعمل القسمة الإقليدية لـ $n$ على $6$ لإرجاع كل $A^n$ إلى أحد عناصر $A^r$ حيث $r\in\{0,\ldots,5\}$. من أجل الجزء II، ابحث عن الشروط على معاملات $M$ التي تحقق $AM=MA$، ثم حدد $a$ و $b$ بحيث $M=aI+bA$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

الطريقة — من أين نبدأ

احسب $A^{2}$ بضرب $A$ في نفسها، ثم $A^{3} = A \times A^{2}$ ، وأخيراً $A^{6} = (A^{3})^{2}$ ؛ يجب أن تجد مصفوفة مميزة لـ $A^{3}$ (متناسبة مع مصفوفة الوحدة).

لإثبات أن $(G, \times)$ زمرة، تحقق من الاستقرار والتجميعية (موروثة من جداء المصفوفات) ووجود عنصر محايد ( $A^{6} = I$ ) ووجود مقلوب لكل عنصر.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Espace vectoriel de matrices triangulaires et changement de base كل تمارين الدرس Équation différentielle à racine double et base de solutions

Groupe multiplicatif de matrices et commutant

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Groupe multiplicatif de matrices et commutant

Énoncé

إرشادات

الطريقة — من أين نبدأ

Correction détaillée

افتح التصحيح الكامل

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

لقد شاهدت 5 تمارين اليوم 🎯