نعتبر المصفوفات من M 3 ( R ) : A = − 1 1 1 0 1 0 − 2 1 2 , B = 7 − 4 − 4 0 − 1 0 8 − 4 − 5 بين أن A 2 = A واستنتج أن A غير قابلة للقلب. بين أنه من أجل كل n ∈ N ∗ : B n = 3 n I + ( ( − 1 ) n − 3 n ) A . نضع C ( n ) = 3 n I + ( ( − 1 ) n − 3 n ) A من أجل n ∈ Z ، و G = { C ( n ) ∣ n ∈ Z } . بين أن ( G , × ) زمرة تبديلية.

Un groupe multiplicatif de matrices via une suite C(n)

Difficile

نعتبر المصفوفات من $M_{3} (R)$ :

$A = - 1 11 010 - 2 12, B = 7 - 4 - 4 0 - 1 0 8 - 4 - 5$

بين أن $A^{2} = A$ واستنتج أن $A$ غير قابلة للقلب.
بين أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ : $B^{n} = 3^{n} I + ((- 1)^{n} - 3^{n}) A$ .
نضع $C (n) = 3^{n} I + ((- 1)^{n} - 3^{n}) A$ من أجل $n \in Z$ ، و $G = {C (n) ∣ n \in Z}$ . بين أن $(G, \times)$ زمرة تبديلية.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، احسب الجداء المصفوفي $A\times A$ حدا بحد وقارن مع النتيجة المتوقعة.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، استعمل البرهان بالتراجع على $n$ باستخدام $B=3I-4A$ و $A^2=A$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 3، استغل العلاقة $C(n)\times C(m)=C(n+m)$ (المحصل عليها بنفس حساب السؤال 2) للتحقق من بديهيات الزمرة.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، احسب الجداء المصفوفي $A \times A$ حدا بحد وقارن مع النتيجة المتوقعة.

بالنسبة للسؤال 2، استعمل البرهان بالتراجع على $n$ باستخدام $B = 3 I - 4 A$ و $A^{2} = A$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points