نعتبر المصفوفات من M 3 ( R ) : A = − 1 1 1 0 1 0 − 2 1 2 , B = 7 − 4 − 4 0 − 1 0 8 − 4 − 5 أثبت أن A 2 = A ؛ استنتج أن A غير قابلة للعكس. أثبت أنه من أجل كل n ∈ N ∗ : B n = 3 n I + ( ( − 1 ) n − 3 n ) A . نضع C ( n ) = 3 n I + ( ( − 1 ) n − 3 n ) A من أجل n ∈ Z و G = { C ( n ) / n ∈ Z } . أثبت أن ( G , × ) زمرة تبديلية.

Groupe matriciel et puissances d'une matrice

Difficile

نعتبر المصفوفات من $M_{3} (R)$ :

$A = - 1 11 010 - 2 12, B = 7 - 4 - 4 0 - 1 0 8 - 4 - 5$

أثبت أن $A^{2} = A$ ؛ استنتج أن $A$ غير قابلة للعكس.
أثبت أنه من أجل كل $n \in N^{*}$ : $B^{n} = 3^{n} I + ((- 1)^{n} - 3^{n}) A$ .
نضع $C (n) = 3^{n} I + ((- 1)^{n} - 3^{n}) A$ من أجل $n \in Z$ و $G = {C (n) / n \in Z}$ . أثبت أن $(G, \times)$ زمرة تبديلية.

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات $A^2=A$، أنجز الجداء المصفوفي حداً بحد، ثم استعمل البرهان بالخلف: لو كانت $A$ قابلة للقلب، ماذا ينتج عن ضرب $A^2=A$ في $A^{-1}$؟

2 الإرشاد 2

لإيجاد $B^n$، استعمل البرهان بالتراجع بكتابة $B = 3I - 4A$ واستعمال $A^2=A$ بشكل منهجي لتبسيط الجداءات.

3 الإرشاد 3

لإثبات أن $(G,\\times)$ زمرة، احسب $C(n)\\times C(m)$ بتطوير الحدود وتجميعها حسب $I$ و $A$ باستعمال $A^2=A$؛ ثم حدد العنصر المحايد ونظير كل عنصر.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات $A^{2} = A$ ، أنجز الجداء المصفوفي حداً بحد، ثم استعمل البرهان بالخلف: لو كانت $A$ قابلة للقلب، ماذا ينتج عن ضرب $A^{2} = A$ في $A^{- 1}$ ؟

لإيجاد $B^{n}$ ، استعمل البرهان بالتراجع بكتابة $B = 3 I - 4 A$ واستعمال $A^{2} = A$ بشكل منهجي لتبسيط الجداءات.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points