نعتبر المجموعة: F = { M ( a , b ) = ( a + b b − 2 b a − b ) : ( a , b ) ∈ R 2 } . بيّن أن F فضاء جزئي من ( M 2 ( R ) , + , ⋅ ) ، وحدد أساسه و dim ( F ) . نضع J = M ( 0 , 1 ) . تحقق من أن J 2 = − I وأعط إحداثيات J 2 في الأساس الذي وجدته. بيّن أن F مستقر بالنسبة للضرب، وأن M ( a , b ) × M ( c , d ) = M ( a c − b d , a d + b c ) . لتكن f : C ∗ → F ∗ معرفة بـ f ( a + ib ) = M ( a , b ) . بيّن أن f تشاكل من ( C ∗ , × ) إلى ( F ∗ , × ) ، واستنتج أن ( F , + , × ) حقل تبديلي. حل في F ∗ المعادلة J X 3 = − I .

Corps de matrices isomorphe à ℂ et équation JX³=−I

Difficile

نعتبر المجموعة:

$F = {M (a, b) = (a + b b - 2 b a - b) : (a, b) \in R^{2}} .$

بيّن أن $F$ فضاء جزئي من $(M_{2} (R), +, \cdot)$ ، وحدد أساسه و $dim (F)$ .
نضع $J = M (0, 1)$ . تحقق من أن $J^{2} = - I$ وأعط إحداثيات $J^{2}$ في الأساس الذي وجدته.
بيّن أن $F$ مستقر بالنسبة للضرب، وأن $M (a, b) \times M (c, d) = M (a c - b d, a d + b c)$ .
لتكن $f : C^{*} \to F^{*}$ معرفة بـ $f (a + ib) = M (a, b)$ . بيّن أن $f$ تشاكل من $(C^{*}, \times)$ إلى $(F^{*}, \times)$ ، واستنتج أن $(F, +, \times)$ حقل تبديلي.
حل في $F^{*}$ المعادلة $J X^{3} = - I$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، اكتب $M(a,b) = aI + bJ$ حيث $I$ مصفوفة الوحدة، لإيجاد عائلة مولدة، ثم تحقق من كونها حرة.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، احسب مباشرة الجداء المصفوفي $J \times J$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال 4، بين أن $f$ تحول جداء إلى جداء ($f(z_1 z_2) = f(z_1) \times f(z_2)$) وأنها تقابل.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، اكتب $M (a, b) = a I + b J$ حيث $I$ مصفوفة الوحدة، لإيجاد عائلة مولدة، ثم تحقق من كونها حرة.

بالنسبة للسؤال 2، احسب مباشرة الجداء المصفوفي $J \times J$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points