على C نعرّف: x ∗ y = x + y − 2 i , x ⊥ y = 2 i x y + 4 ( x + y ) − 6 i . نعتبر f : C → C , f ( z ) = − 2 i z + 2 i . أثبت أن f تقابلية وحدد f − 1 . أثبت أن f تشاكل من ( C , + ) نحو ( C , ∗ ) ، واستنتج بنية ( C , ∗ ) وعنصرها المحايد e . أثبت أن f تشاكل من ( C , × ) نحو ( C , ⊥ ) ، واستنتج بنية ( C ∖ { e } , ⊥ ) . أثبت أن ( C , ∗ , ⊥ ) جسم تبديلي. حدد x ( n ) = n x ⊥ ⋯ ⊥ x ، ثم حل x ( 4 ) = 8 + 2 i .

Corps commutatif sur $\mathbb{C}$ et résolution de $x^{(4)}=8+2i$

Difficile

على $C$ نعرّف:

$x * y = x + y - 2 i, x ⊥ y = 2 i x y + 4 (x + y) - 6 i .$

نعتبر $f : C \to C, f (z) = - \frac{i}{2} z + 2 i$ .

أثبت أن $f$ تقابلية وحدد $f^{- 1}$ .
أثبت أن $f$ تشاكل من $(C, +)$ نحو $(C, *)$ ، واستنتج بنية $(C, *)$ وعنصرها المحايد $e$ .
أثبت أن $f$ تشاكل من $(C, \times)$ نحو $(C, ⊥)$ ، واستنتج بنية $(C ∖ {e}, ⊥)$ .
أثبت أن $(C, *, ⊥)$ جسم تبديلي.
حدد $x^{(n)} = n x ⊥ \dots ⊥ x$ ، ثم حل $x^{(4)} = 8 + 2 i$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لإثبات التقابل، حل المعادلة $f(z)=y$ بالنسبة لـ $z$ بدلالة $y$: إذا وجدت $z$ وحيداً لكل $y$، فإن $f$ تقابلية.

2 الإرشاد 2

لإثبات أن $f$ تشاكل، احسب على حدة $f(x)*f(y)$ و $f(x+y)$ (بالتطوير باستعمال تعريف $*$) وقارن العبارتين.

3 الإرشاد 3

بالنسبة للسؤال الأخير، ضع $x=f(y)$ لتحويل العملية $\perp$ المكررة إلى قوة عادية عبر التشاكل، ثم حل المعادلة الناتجة بالشكل الأسي المركب.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لإثبات التقابل، حل المعادلة $f (z) = y$ بالنسبة لـ $z$ بدلالة $y$ : إذا وجدت $z$ وحيداً لكل $y$ ، فإن $f$ تقابلية.

لإثبات أن $f$ تشاكل، احسب على حدة $f (x) * f (y)$ و $f (x + y)$ (بالتطوير باستعمال تعريف $*$ ) وقارن العبارتين.

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points