نجهز E = ] 0 , 1 [ بالقانون ∗ المعرف بـ: ∀ x , y ∈ ] 0 , 1 [ : x ∗ y = x y + ( 1 − x ) ( 1 − y ) x y لتكن f الدالة المعرفة من ] 0 , + ∞ [ إلى E بـ f ( x ) = x + 1 1 . بين أن ∗ قانون تركيب داخلي في ] 0 , 1 [ . بين أن f تشاكل من ( ] 0 , + ∞ [ , × ) إلى ( E , ∗ ) . استنتج أن ( E , ∗ ) زمرة تبديلية، ثم حدد العنصر المحايد ومماثل x . لتكن H = { x n = 1 + 3 n 1 / n ∈ Z } . بين أن H زمرة جزئية من ( E , ∗ ) .

Isomorphisme et sous-groupe sur l'intervalle ]0,1[

Intermédiaire

Énoncé

نجهز $E =] 0, 1 [$ بالقانون $*$ المعرف بـ:

$\forall x, y \in] 0, 1 [: x * y = \frac{x y}{x y + ( 1 - x ) ( 1 - y )}$

لتكن $f$ الدالة المعرفة من $] 0, + \infty [$ إلى $E$ بـ $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ .

بين أن $*$ قانون تركيب داخلي في $] 0, 1 [$ .
بين أن $f$ تشاكل من $(] 0, + \infty [, \times)$ إلى $(E, *)$ .
استنتج أن $(E, *)$ زمرة تبديلية، ثم حدد العنصر المحايد ومماثل $x$ .
لتكن $H = {x_{n} = \frac{1}{1 + 3 ^{n}} / n \in Z}$ . بين أن $H$ زمرة جزئية من $(E, *)$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour montrer que $*$ est une loi interne, vérifie que pour $x, y \in \,]0,1[$, on a bien $x * y \in \,]0,1[$. Compare le numérateur $xy$ au dénominateur $xy + (1-x)(1-y)$ pour prouver que $x*y < 1$.

2 الإرشاد 2

Pour l'isomorphisme, commence par montrer que $f$ est bijective (étudie les variations). Puis calcule $f(x) * f(y)$ en posant $a = \dfrac{1}{x+1}$ et $b = \dfrac{1}{y+1}$, et vérifie que cela donne $\dfrac{1}{1+xy} = f(xy)$.

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Pour montrer que $*$ est une loi interne, vérifie que pour $x, y \in] 0, 1 [$ , on a bien $x * y \in] 0, 1 [$ . Compare le numérateur $x y$ au dénominateur $x y + (1 - x) (1 - y)$ pour prouver que $x * y < 1$ .

Pour l'isomorphisme, commence par montrer que $f$ est bijective (étudie les variations). Puis calcule $f (x) * f (y)$ en posant $a = \frac{1}{x + 1}$ et $b = \frac{1}{y + 1}$ , et vérifie que cela donne $\frac{1}{1 + x y} = f (x y)$ .

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