Matrice inverse et structure de groupe sur $]1,+\infty[$

الجزء 1. في $(M_3(\mathbb{R}),+,\times )$ نعتبر $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ و $A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{5}-1}{2}& 0& 0\\ 0& -2& -1\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$

1. احسب $I-A$ و $A^2$.
2. استنتج أن $A$ تقبل مصفوفة معكوسة.

الجزء 2. من أجل $a,b\in I_0=]1,+\infty [$ نضع $a\ast b=\sqrt{a^2{b}^2-a^2-b^2+2}$.

1. تحقق من أن $\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2{y}^2-x^2-y^2+2=(x^2-1)(y^2-1)+1.$
2. بين أن $\ast$ قانون تركيب داخلي على $I_0$.
3. ليكن $\phi :{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to I_0,\phi (x)=\sqrt{x+1}$. بين أن $\phi$ تشاكل تقابلي من $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\times )$ إلى $(I_0,\ast )$، واستنتج بنية $(I_0,\ast )$.
4. نضع $H=\{\sqrt{1+2^m}\mid m\in \mathbb{Z}\}$. بين أن $(H,\ast )$ زمرة جزئية من $(I_0,\ast )$.