Matrice nilpotente $A^3 = O$ : inverses de $I-A$ et $I+A$

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لتكن المصفوفة

  1. بين أن واستنتج أن غير قابلة للعكس.
  2. بين أن و قابلتان للعكس، وحدد معكوسيهما بدلالة و و .

إرشادات

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1 الإرشاد 1
Pour calculer $A^3$, commence par multiplier $A \times A$ pour obtenir $A^2$. Observe bien la structure triangulaire : chaque multiplication « remonte » les zéros. Ensuite, multiplie $A^2$ par $A$.
2 الإرشاد 2
Pour l'inversibilité de $I - A$, pense aux identités remarquables généralisées. Essaie de développer $(I - A)(I + A + A^2)$ en utilisant le fait que $A^3 = O$. Que remarques-tu ?

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour calculer , commence par multiplier pour obtenir . Observe bien la structure triangulaire : chaque multiplication « remonte » les zéros. Ensuite, multiplie par .

Pour l'inversibilité de , pense aux identités remarquables généralisées. Essaie de développer en utilisant le fait que . Que remarques-tu ?

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Matrices $A$ (tous les coefficients $1$) et $B$ : puissances et inversibilité كل تمارين الدرس Groupe commutatif sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ muni de $x*y=x+y+xy$