Matrice nilpotente et inverses associés

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مصفوفة عدمية القوة

لتكن المصفوفة .

  1. أثبت أن واستنتج أن غير قابلة للعكس.
  2. أثبت أن و قابلتان للعكس، وحدد معكوسيهما بدلالة و و .

إرشادات

— انقر للكشف
1 الإرشاد 1
Pour montrer que $A^3 = O$, commence par calculer $A^2$ en effectuant le produit matriciel $A \times A$. Tu verras qu'elle devient encore plus simple, avec davantage de zéros.
2 الإرشاد 2
Pour l'inversibilité de $I - A$, pense à la formule de factorisation $1 - x^3 = (1-x)(1+x+x^2)$. Applique cette idée avec les matrices : écris $I - A^3 = (I-A)(I+A+A^2)$ et utilise le fait que $A^3 = O$.

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الطريقة — من أين نبدأ

Pour montrer que , commence par calculer en effectuant le produit matriciel . Tu verras qu'elle devient encore plus simple, avec davantage de zéros.

Pour l'inversibilité de , pense à la formule de factorisation . Applique cette idée avec les matrices : écris et utilise le fait que .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

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Puissances et inverse de matrices 3×3 كل تمارين الدرس Loi x*y = x+y+xy sur R privé de -1