Anneau commutatif unitaire non intègre sur $\mathbb{R}^2$

على ${\mathbb{R}}^2$ نعرف قانونين $+$ و $\times$ بـ:

$(x,y)+(a,b)=(x+a,y+b),(x,y)\times (a,b)=(ax,bx+ay).$

1. بيّن أن $({\mathbb{R}}^2,+)$ زمرة تبديلية.
2. بيّن أن $\times$ تبديلية، تجميعية وتقبل عنصراً محايداً.
3. بيّن أن $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ حلقة تبديلية ووحدوية.
4. هل الحلقة $({\mathbb{R}}^2,+,\times )$ تامة؟ علّل.