Anneau intègre de matrices $M(a,b)$ et morphisme $\varphi=|a^2-3b^2|$

ليكن $E=\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ b& a\end{array}\right)|(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\}.$

1. a) بين أن $E$ زمرة جزئية من $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
   b) تحقق من أن $M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)$.
   c) استنتج أن $(E,+,\times )$ حلقة تبديلية ووحدوية.
2. ليكن $\phi :E\to \mathbb{Z},\phi (M(a,b))=|a^2-3b^2|$. بين أن $\phi$ تشاكل من $(E,\times )$ نحو $(\mathbb{Z},\times )$.
3. a) بين أن $M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2)I$.
   b) بين أنه إذا كان $M(a,b)$ قابلا للقلب في $(E,\times )$ فإن $\phi (M(a,b))=1$.
   c) بالعكس، إذا كان $\phi (M(a,b))=1$، بين أن $M(a,b)$ قابل للقلب وحدد مقلوبه.
4. a) بين أن $\phi (M(a,b))=0⟺a=b=0$.
   b) استنتج أن الحلقة $(E,+,\times )$ تامة.
   c) هل $(E,+,\times )$ جسم؟