Anneau de matrices de type a + b√3 et intégrité

لتكن $E=\left\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 3b\\ b& a\end{array}\right)/(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\right\}$.

1. 1. بيّن أن $E$ زمرة جزئية من $(M_2(\mathbb{R}),+)$.
   2. تحقق من أن $M(a,b)\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)$.
   3. بيّن أن $(E,+,\times )$ حلقة تبديلية ووحدوية.
2. لتكن $\phi :E\to \mathbb{Z}$ معرفة بـ $\phi (M(a,b))=|a^2-3b^2|$. بيّن أن $\phi$ تشاكل من $(E,\times )$ إلى $(\mathbb{Z},\times )$.
3. بيّن أن $M(a,b)$ قابلة للقلب في $(E,\times )$ إذا وفقط إذا كان $\phi (M(a,b))=1$، وحدد حينئذ المعكوس.
4. بيّن أن الحلقة $(E,+,\times )$ تكاملية. هل هي حقل؟