البرهان بالترجع ودراسة الرتابة

التمرين 3 – البرهان بالترجع، الرتابة والتقارب

نعتبر المتتالية $(w_n)$ المعرفة بما يلي: $w_0=3$ ولكل $n\in \mathbb{N}$، $w_{n+1}=\frac{w_n+8}{w_n+2}$.

1. حساب الحدود الأولى. أحسب $w_1$ و $w_2$. (اترك النتائج على شكل كسور إذا لزم الأمر.)
2. استقرار مجال.
   أ) بين أن لكل عدد حقيقي $x\in [1;3]$، لدينا $\frac{x+8}{x+2}\in [1;3]$.
   ب) استنتج بالترجع أن لكل $n\in \mathbb{N}$، $w_n\in [1;3]$.
3. الرتابة.
   أ) ادرس إشارة $w_{n+1}-w_n$ بدلالة $w_n$.
   ب) استنتج أن $(w_n)$ رتيبة. حدد منحاها.
4. التقارب.
   أ) برر أن $(w_n)$ تتقارب نحو نهاية $\ell \in [1;3]$.
   ب) حدد $\ell$.