لتكن المتتالية ( u n ) معرفة بـ u 0 = 1 و، لكل n ∈ N : u n + 1 = u n 2 + u n . احسب u 1 و u 2 . برهن بالتراجع أنه لكل n ∈ N ، u n ≥ 1 . بين أن المتتالية ( u n ) متزايدة تزايدا قطعيا . نقبل أن المتتالية ( u n ) غير محدودة من الأعلى . استنتج نهاية ( u n ) عندما يؤول n إلى + ∞ . بين أنه لكل n ∈ N : u n + 1 ≥ 2 u n . استنتج أن u n ≥ 2 n لكل n ∈ N .

برهان بالترجع وتأطير متتالية

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Énoncé

لتكن المتتالية ( $u_{n}$ ) معرفة بـ $u_{0} = 1$ و، لكل $n \in N$ : $u_{n + 1} = u_{n}^{2} + u_{n}$ .

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
برهن بالتراجع أنه لكل $n \in N$ ، $u_{n} \geq 1$ .
بين أن المتتالية ( $u_{n}$ ) متزايدة تزايدا قطعيا.
نقبل أن المتتالية ( $u_{n}$ ) غير محدودة من الأعلى. استنتج نهاية ( $u_{n}$ ) عندما يؤول $n$ إلى $+ \infty$ .
بين أنه لكل $n \in N$ : $u_{n + 1} \geq 2 u_{n}$ . استنتج أن $u_{n} \geq 2^{n}$ لكل $n \in N$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour calculer $u_1$ et $u_2$, applique directement la relation de récurrence : remplace $u_0 = 1$ dans la formule $u_{n+1} = u_n^2 + u_n$ pour obtenir $u_1$, puis recommence avec $u_1$ pour trouver $u_2$.

2 الإرشاد 2

Pour la récurrence $u_n \geq 1$ : à l'hérédité, factorise $u_{n+1} = u_n(u_n + 1)$. Si $u_n \geq 1$, que peux-tu dire du produit de deux nombres tous deux supérieurs ou égaux à 1 ?

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Pour calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ , applique directement la relation de récurrence : remplace $u_{0} = 1$ dans la formule $u_{n + 1} = u_{n}^{2} + u_{n}$ pour obtenir $u_{1}$ , puis recommence avec $u_{1}$ pour trouver $u_{2}$ .

Pour la récurrence $u_{n} \geq 1$ : à l'hérédité, factorise $u_{n + 1} = u_{n} (u_{n} + 1)$ . Si $u_{n} \geq 1$ , que peux-tu dire du produit de deux nombres tous deux supérieurs ou égaux à 1 ?

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