Problème complet : suite, comparaison et situation économique (Casablanca)

Exercice 6 – Problème de gestion financière à Casablanca

Une entreprise casablancaise étudie deux plans d'investissement sur N années (n = 0 correspondant à la 1ère année) :

• Plan A : Le bénéfice de la n-ième année est $u_n=20000+5000n$ (en dirhams).
• Plan B : Le bénéfice de la n-ième année est $v_0=10000$ et $v_{n+1}=1,2\times v_n$.

Partie I – Étude du Plan A

1. Montrer que $(u_n)$ est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Calculer la somme $A_n=u_0+u_1+\dots +u_n$ des bénéfices cumulés du Plan A.

Partie II – Étude du Plan B

1. Montrer que $(v_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
3. Calculer la somme $B_n=v_0+v_1+\dots +v_n$ des bénéfices cumulés du Plan B. (Arrondir les coefficients à 4 décimales si nécessaire.)

Partie III – Comparaison et décision

1. Montrer que pour $n\ge 1$, $B_n-A_n=50000\times (1,2^{n+1}-1)-2500n^2-22500n-20000$.
2. Étudier le signe de $B_n-A_n$ pour $n\in \{1,2,3,4,5,10\}$ en calculant les valeurs numériques. À partir de quelle année le Plan B devient-il plus avantageux ?
3. On admet que pour n suffisamment grand, $B_n-A_n\to +\infty$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'entreprise.