Démonstration par récurrence et encadrement d'une suite — Bac Côte d'Ivoire 2023

Soit la suite ($u_n$) définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}=u_n^2+u_n$.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
2. Démontrer par récurrence que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\ge 1$.
3. Montrer que la suite ($u_n$) est strictement croissante.
4. On admet que la suite ($u_n$) est non majorée. En déduire la limite de ($u_n$) quand $n$ tend vers $+\infty$.
5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}\ge 2u_n$. En déduire que $u_n\ge 2^n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.