لتكن f الدالة المعرفة على المجال ] 0 ; + ∞ [ بـ f ( x ) = 3 x + x 4 . لتكن المتتالية ( u n ) المعرفة بـ u 0 = 6 ، ولكل n ∈ N : u n + 1 = f ( u n ) = 3 u n + u n 4 . الجزء الأول – دراسة الدالة f بين أن f ( x ) ≥ 2 3 لكل x > 0 . (يمكن استعمال المتراجحة بين الوسط الحسابي والهندسي: a + b ≥ 2 ab من أجل a , b > 0 .) حدد النقط الثابتة للدالة f ، أي حلول المعادلة f ( x ) = x على المجال ] 0 ; + ∞ [ . الجزء الثاني – دراسة المتتالية ( u n ) بين أنه لكل n ≥ 1 ، u n ≥ 2 3 . استنتج أن المتتالية معرفة جيدا وأن جميع حدودها موجبة قطعا. نضع w n = u n − 2 3 من أجل n ≥ 1 . بين أن: w n + 1 = 3 1 × u n ( u n − 2 3 ) 2 . استنتج أنه لكل n ≥ 1 : w n + 1 ≥ 0 ، وأن المتتالية ( u n ) تناقصية من أجل n ≥ 1 . بين أن المتتالية ( u n ) n ≥ 1 متقاربة وحدد نهايتها ℓ . (نقبل أنه إذا كانت ( u n ) تتقارب نحو ℓ ، فإن ℓ تحقق f ( ℓ ) = ℓ .)

المتتاليات التراجعية والنقطة الثابتة والتقارب

Difficile Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

لتكن $f$ الدالة المعرفة على المجال $] 0; + \infty [$ بـ $f (x) = \frac{x}{3} + \frac{4}{x}$ .

لتكن المتتالية $(u_{n})$ المعرفة بـ $u_{0} = 6$ ، ولكل $n \in N$ : $u_{n + 1} = f (u_{n}) = \frac{u _{n}}{3} + \frac{4}{u _{n}}$ .

الجزء الأول – دراسة الدالة $f$

بين أن $f (x) \geq 23$ لكل $x > 0$ . (يمكن استعمال المتراجحة بين الوسط الحسابي والهندسي: $a + b \geq 2 ab$ من أجل $a, b > 0$ .)
حدد النقط الثابتة للدالة $f$ ، أي حلول المعادلة $f (x) = x$ على المجال $] 0; + \infty [$ .

الجزء الثاني – دراسة المتتالية $(u_{n})$

بين أنه لكل $n \geq 1$ ، $u_{n} \geq 23$ . استنتج أن المتتالية معرفة جيدا وأن جميع حدودها موجبة قطعا.
نضع $w_{n} = u_{n} - 23$ من أجل $n \geq 1$ . بين أن:
$w_{n + 1} = \frac{1}{3} \times \frac{( u _{n} - 2 3 ) ^{2}}{u _{n}}$ .
استنتج أنه لكل $n \geq 1$ : $w_{n + 1} \geq 0$ ، وأن المتتالية $(u_{n})$ تناقصية من أجل $n \geq 1$ .
بين أن المتتالية $(u_{n})_{n \geq 1}$ متقاربة وحدد نهايتها $ℓ$ . (نقبل أنه إذا كانت $(u_{n})$ تتقارب نحو $ℓ$ ، فإن $ℓ$ تحقق $f (ℓ) = ℓ$ .)

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

لتطبيق $a+b \geq 2\sqrt{ab}$، حدد بوضوح $a = \dfrac{x}{3}$ و $b = \dfrac{4}{x}$، ثم احسب الجداء $ab$.

2 الإرشاد 2

لإيجاد النقط الثابتة، حل المعادلة $f(x) = x$ بتوحيد المقام للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $x$.

3 الإرشاد 3

من أجل الجزء الثاني، استعمل برهانا بالترجع: بيّن أنه إذا كانت $u_n > 0$ معرفة جيدا، فإن $u_{n+1} = f(u_n)$ تحقق متراجحة الجزء الأول.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

لتطبيق $a + b \geq 2 ab$ ، حدد بوضوح $a = \frac{x}{3}$ و $b = \frac{4}{x}$ ، ثم احسب الجداء $ab$ .

لإيجاد النقط الثابتة، حل المعادلة $f (x) = x$ بتوحيد المقام للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $x$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points