Exercice 4 – Suite récurrente, changement de variable et limite On considère la suite ( a n ) définie par : a 0 = 1 et, pour tout n ∈ N , a n + 1 = 2 a n + 3 . Calculer a 1 , a 2 et a 3 . On pose b n = a n + α , où α est un réel à déterminer. a) Déterminer α de sorte que ( b n ) soit une suite géométrique. Préciser la raison q et le premier terme b 0 . b) Exprimer b n en fonction de n , puis en déduire l'expression de a n en fonction de n . Vérifier le résultat obtenu en calculant a 3 à partir de la formule explicite. Étude de la somme. On pose T n = a 0 + a 1 + … + a n . Exprimer T n en fonction de n , puis calculer T 9 . Quelle est la limite de 2 n a n quand n → + ∞ ? Justifier.

Suite définie par récurrence, linéarisation et limite

Intermédiaire Inspiré BAC Côte d'Ivoire

Exercice inspiré d'un BAC Côte d'Ivoire

Source-style : BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Inspiré du style BAC Côte d'Ivoire Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 4 – Suite récurrente, changement de variable et limite

On considère la suite $(a_{n})$ définie par : $a_{0} = 1$ et, pour tout $n \in N$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ .

Calculer $a_{1}$ , $a_{2}$ et $a_{3}$ .
On pose $b_{n} = a_{n} + α$ , où $α$ est un réel à déterminer.
a) Déterminer $α$ de sorte que $(b_{n})$ soit une suite géométrique. Préciser la raison $q$ et le premier terme $b_{0}$ .
b) Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$ , puis en déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$ .
Vérifier le résultat obtenu en calculant $a_{3}$ à partir de la formule explicite.
Étude de la somme. On pose $T_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ .
Exprimer $T_{n}$ en fonction de $n$ , puis calculer $T_{9}$ .
Quelle est la limite de $\frac{a _{n}}{2 ^{n}}$ quand $n \to + \infty$ ? Justifier.

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