Suite récurrente, point fixe et convergence – Niveau BAC difficile

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=\frac{x}{3}+\frac{4}{x}$. Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=6$ et $u_{n+1}=f(u_n)=\frac{u_n}{3}+\frac{4}{u_n}$. Partie I – Montrer que $f(x)\ge \frac{4\sqrt{3}}{3}$ pour tout $x>0$ (on pourra utiliser l'inégalité $a+b\ge 2\sqrt{ab}$). Déterminer les points fixes de $f$ sur $]0;+\infty [$. Partie II – Montrer que pour tout $n\ge 1$, $u_n\ge \frac{4\sqrt{3}}{3}$, en déduire que la suite est bien définie et à termes strictement positifs.