الاستدلال بالتراجع وتأطير متتالية

التمرين 4 — البرهان بالترجع، الرتابة والتأطير

نعتبر المتتالية ($u_n$) المعرفة بما يلي: $u_0=2$، ولكل $n\in \mathbb{N}$:

$u_{n+1}=\sqrt{2\times u_n+3}$

حيث ​ ترمز إلى الجذر التربيعي.

1. احسب $u_1$ و $u_2$ (القيم المضبوطة).
2. الجزء A — التأطير: برهن بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$: $1\le u_n\le 3$.
3. الجزء B — الرتابة:
   1. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{2\times u_n+3-u_n^2}{u_{n+1}+u_n}$.
   2. بتحليل $2u_n+3-u_n^2$، بين أن ($u_n$) تزايدية على $\mathbb{N}$.
4. الجزء C — النهاية: بافتراض أن ($u_n$) تتقارب نحو عدد حقيقي $l$، حدد $l$.