Suite arithmético-géométrique et point fixe

Exercice 3 — Suite arithmético-géométrique

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0=1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+4$

1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier.
2. On pose $l=\frac{1}{3}\times l+4$. Résoudre cette équation et trouver le réel $l$ appelé point fixe de la suite.
3. On pose, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $w_n=u_n-l$. Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
4. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
5. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et déterminer sa limite.