Exercice 2 — Suite géométrique et récurrence On considère la suite ( v n ) définie par : v 0 = 3 et, pour tout n ∈ N , v n + 1 = 2 × v n . Calculer v 1 , v 2 , v 3 . Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de ( v n ) ? Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N : v n = 3 × 2 n . Calculer la somme S n = v 0 + v 1 + … + v n en fonction de n . Déterminer le plus petit entier n tel que S n > 10 000 .

Suite géométrique et démonstration par récurrence

Facile Inspiré BAC Cameroun

Exercice inspiré d'un BAC Cameroun

Source-style : BAC Cameroun Série C 2023

Inspiré du style BAC Cameroun Série C 2023

Énoncé et solution adaptés au programme marocain. Voir crédits.

Exercice 2 — Suite géométrique et récurrence

On considère la suite $(v_{n})$ définie par : $v_{0} = 3$ et, pour tout $n \in N$ , $v_{n + 1} = 2 \times v_{n}$ .

Calculer $v_{1}$ , $v_{2}$ , $v_{3}$ . Quelle conjecture peut-on formuler sur la nature de $(v_{n})$ ?
Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in N$ : $v_{n} = 3 \times 2^{n}$ .
Calculer la somme $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $S_{n} > 10000$ .

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