Situation-problème : placement bancaire et seuil d'objectif

Exercice 6 — Placement bancaire à Marrakech

Une entreprise basée à Marrakech place un capital initial de 50 000 dirhams dans un compte bancaire. Deux options de placement lui sont proposées :

Option A : Chaque année, la banque ajoute une somme fixe de 3 500 dirhams au capital.

Option B : Chaque année, le capital est multiplié par 1,06 (taux d'intérêt annuel de 6%).

On note $A_n$ (resp. $B_n$) le capital (en dirhams) après n années pour l'option A (resp. B).

1. Exprimer $A_n$ et $B_n$ en fonction de n.
2. Calculer $A_{10}$ et $B_{10}$. Quelle option est plus avantageuse après 10 ans ?
3. Montrer qu'il existe un entier N à partir duquel l'option B devient définitivement plus avantageuse que l'option A. On cherchera N tel que $B_n>A_n$ pour tout $n\ge N$.
   On admet que $\log (1,06)\approx 0,0253$ et $\log (1,07)\approx 0,0294$.
4. On considère maintenant la suite $(C_n)$ définie par : $C_n=B_n-A_n$.
   1. Montrer que $(C_n)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
   2. Étudier le signe de $C_n$ pour $n\ge N$ (N trouvé en question 3.) et interpréter.