Suite définie par récurrence double et somme télescopique

Exercice 5 — Suite, récurrence et somme télescopique

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}$ par :

$u_n=n^2+3n+1$

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$.
2. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :
   $u_{n+1}-u_n=2n+4$.
3. On pose, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $T_n=\sum _{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)$.
   1. Montrer que $T_n=u_n-u_0$ (somme télescopique).
   2. En utilisant la question 2., calculer $T_n$ à l'aide des formules de sommes usuelles, puis vérifier que l'on retrouve bien $u_n-u_0$.
4. On définit maintenant la suite $(v_n)$ par : $v_n=\frac{u_n}{n+1}$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   1. Exprimer $v_n$ en fonction de n de manière simplifiée.
   2. Étudier la monotonie de $(v_n)$ en calculant $v_{n+1}-v_n$.
   3. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n$.