Suite géométrique, récurrence et convergence

On considère la suite ($u_n$) définie par :

$u_0=4$   et   $u_{n+1}=\frac{1}{3}\times u_n+2$, pour tout $n\in \mathbb{N}$.

1. Point fixe : Déterminer le réel $\ell$ tel que $\ell =\frac{1}{3}\ell +2$.
2. Suite auxiliaire : On pose $v_n=u_n-\ell$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
   1. Montrer que ($v_n$) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
3. Démonstration par récurrence : Montrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_n>3$.
4. Monotonie et convergence :
   1. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ et en déduire le sens de variation de ($u_n$).
   2. En déduire que ($u_n$) converge et déterminer sa limite.