Raisonnement par récurrence et encadrement d'une suite

Exercice 4 — Récurrence, monotonie et encadrement

On considère la suite ($u_n$) définie par : $u_0=2$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=\sqrt{2\times u_n+3}$

où ​ désigne la racine carrée.

1. Calculer $u_1$ et $u_2$ (valeurs exactes).
2. Partie A — Encadrement : Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $1\le u_n\le 3$.
3. Partie B — Monotonie :
   1. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$ : $u_{n+1}-u_n=\frac{2\times u_n+3-u_n^2}{u_{n+1}+u_n}$.
   2. En factorisant $2u_n+3-u_n^2$, montrer que ($u_n$) est croissante sur $\mathbb{N}$.
4. Partie C — Limite : En admettant que ($u_n$) converge vers un réel $l$, déterminer $l$.